Laboratoire d'accueil : Laboratoire d’étude de l’incendie et de développement de méthodes pour la simulation et les incertitudes (LIMSI)

Date de début de thèse : 30/11/2009

Nom du doctorant : Tan-Trung Nguyen

Contexte et Motivations

L'objectif de la présente action de recherche est de développer des compétences nouvelles dans le domaine de la modélisation et de la simulation numérique sur maillage quelconque de problèmes diphasiques dans un milieu poreux à l'aide de techniques de volumes finis. Les applications sont ici motivées par les écoulements en centrale à eau sous pression, où tous les organes internes ne sont pas nécessairement maillés, ce qui conduit à adopter une approche homogénéisée, et, de ce fait, un formalisme similaire à celui des modèles régissant les écoulements dans les milieux poreux.

Etat des lieux

Plusieurs approches de modélisation diphasique sont possibles.
Une première consiste à retenir l'approche à deux fluides, en associant un champ de vitesse, de pression et de température à chaque phase, et à décrire la répartition locale instantanée des deux phases. Cette approche à deux fluides a l'avantage d'aboutir à des systèmes d'équations aux dérivées partielles pour lesquels on bénéficie d'un certain nombre de propriétés mathématiques utiles (i) hyperbolicité inconditionnelle du système convectif, (ii) unicité des relations de saut champ par champ, bien que le système soit non conservatif , (iii) caractérisation entropique du modèle.

Quelques premiers travaux de simulation numérique de ces modèles, sont en cours. Un objectif prioritaire est de définir et tester les algorithmes permettant d'obtenir des représentations discrètes convergentes - et correctes sur maillage de taille industrielle - de phénomènes de propagation d'ondes de détente (régulières), à l'aide de techniques de volumes finis utilisant des solveurs de Riemann approchés. La mesure d'erreur en norme LI de solutions particulières fait apparaître des difficultés importantes, inhabituelles pour de tels schémas. En outre, il faut être conscient que l'utilisation à bas nombre de Mach de ces schémas va contribuer a détériorer la précision sur maillage de taille industrielle, et que les techniques de correction bas Mach, proposées dans le cadre monophasique compressible, sont a priori encore insuffisantes en régime instationnaire et en situation multi-dimensionnelle. Enfin, l'utilisation de ces modèles comportant un grand nombre d'ondes impose structurellement le recours à des maillages très fins, si l'on souhaite obtenir un bon niveau de convergence.

Une seconde possibilité consiste à retenir Papproche mono-ftuide. Bien que plus limitée sur le plan physique, cette approche conduit à un système d'équations de bilan plus réduit (ces dernières sont écrites pour le mélange et non plus pour chacune des phases) et de structure mathématique plus simple, donc, in fine, plus facile à résoudre numériquement. Plusieurs posssibilités de modélisation de la vitesse relative peuvent alors être proposées, pour permettre: (i) une meilleure représentation de la réalité pour les écoulements à contre-courant, (ii) fournir un cadre thermo-mécanique cohérent.
Si l'on se limite au modèle sans écart de vitesse, dans un premier temps, on peut proposer des schémas décentrés système, basés sur une résolution du probleme de Riemann associé, dans le cadre poreux, qui préserve les invariants de Riemann de la discontinuité de contact stationnaire. On peut également considérer des schémas à correction de pression, en se basant notamment sur les travaux issus de (cadre incompressible) et dans le cadre compressible barotrope. Dans ce dernier cadre, les auteurs ont montré la possibilité de simuler correctement les solutions régulières, et démontré la stabilité des schémas considérés. Des preuves de convergence sur le cas simplifié du problème de Stokes barotrope stationnaire ont également été apportées. Pour les derniers travaux, la discrétisation en espace est effectuée par des éléments finis de bas degrés (typiquement les éléments de CrouzeixRaviart), dans le but d'avoir une discrétisation intrinsèquement stable dans la limite incompressible.

Le travail de thèse

Le travail de thèse proposé s'inscrit dans la dernière des approches précedentes : il slagit d'étudier les potentialités des méthodes de correction de pression, dans le contexte des modèles mono-fluide.
En outre, on souhaite utiliser comme discrétisation spatiale des volumes finis colocalisés, s'appuyant sur un maillage général.
Les difficutés à surmonter sont donc les suivantes:

• En premier lieu, construire une discrétisation spatiale consistante et stable. Les problèmes ont ici deux origines différentes. D'une part, sur des maillages généraux, il est nécessaire d'utiliser des schémas de volumes finis spécifiques pour la discrétisation des termes diffusifs ; D'autre part, les volumes finis colocalisés ne sont pas stables en incompressible; deux techniques pour pallier ce problème existent. L'une est spécifique aux méthodes de projection (ou, plus largement, aux solveurs itératifs basés sur une technique de correction de pression), et sa convergence n'est pas à ce jour démontrée. Dans l'autre, un terme de stabilisation est introduit dans le bilan de masse, et garantit une convergence "optimale"; par contre, l'emploi de cette technique dans le cadre d'une méthode de correction de pression n'a jamais été testé. L'une ou l'autre de ces méthodes pourront être mises en oeuvre; la convergence de la solution retenue devra être étudiée (a minima soigneusement testée numériquement) sur des cas tests d'écoulements incompressibles.
• En second lieu, il s'agira d'examiner la faisabilité de l'extension des méthodes de correction de pression proposées au cadre poreux essentiellement, et de comparer les approximations obtenues à celles issues de schémas hyperboliques adaptés au cadre poreux.
  Pour cela, une activité de benchmarking sur la base de solutions exactes du problème de Riemann sera nécessaire. Une seconde classe de problèmes à considérer correspondra à la réflexion-propagation d'ondes de détente sur un profil de porosité discontinue. Ce dernier cas est motivé par la transition d'écoulements entre des codes gérant des fluides purs, et ceux gérant les milieux poreux homogénéisés (cas des codes composants notamment, et simulation du phénomène d'APRP).